【配置理论】探索基于均值方差理论的效用函数

均值方差理论是现代投资组合理论及应用的基石,他假设理性投资者会从风险资产的预期收益和风险这两个维度考虑,构建符合自身需求的投资组合,并用预期波动率来描述资产风险。在此框架下,最有效的组合就是在给定组合预期风险的情况下,能构建出的收益最高的组合;以及在给定预期收益的情况下,能构建出的风险最低的组合。均值方差理论在实际应用中又主要建立在以下两个假设中:

1.     投资者的效用函数是一个二次项函数

2.     收益率服从多元高斯分布,即效用函数与梯度,峰度等多阶指标无关。

在包含有K个风险资产的组合中,我们用Ω代表K*K协方差矩阵,μ代表K*1预期收益率向量,w代表K*1最优权重向量。

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我们可以通过多种不同的算法获得协方差矩阵和预期收益率向量,通过公式(1)得出组合的波动率及收益率

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而除了通过最大收益或者最小风险计算有效边际外,我们在本文重点关注根据不同风险偏好度λ计算出有效边际的方法。我们可以在此基础上构建出满足不同风险偏好的多元化资产配置方案,增强大类资产配置的多样性及适用性。

我们通过(2)描述基础效用函数,并通过最大化效用值平衡风险和收益

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每个人都有不同的风险偏好程度,我们通过λ量化风险特征,用效用值(Utility)量化持有组合所带来的满意程度。λ越高,风险偏好越大,投资者也更加追求收益,更偏向激进的配置方案。

我们一般用对资产权重一阶求导的方法寻找效用值最大的资产配置比重方案。权重对效用的转折点为效用的局部最优点,优化出组合权重w*,具体结果如(3)所示:

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一般情况下组合最优权重之和不用等于100%,我们可以认识是现金填补了组合中剩余的部分,这是因为现金没有波动的风险,收益率为无风险利率。从公式中来看,最优的配置权重与风险偏好,预期收益和协方差的逆矩阵正相关,而协方差的逆矩阵刻画的是资产收益均值的稳定性。

在(3)中,我们发现不同风险偏好的投资者会持有同样的纯风险资产组合,也就是说,风险偏好只影响现金与风险资产组合的比例,即杠杆比例,而不影响组合中风险资产内部的相对比例。高风险偏好投资者与低风险偏好投资者投资股票和原油的相对投资比例是一样的,他们只是持有不同比例的现金。针对这一特点,我们在实证中不再涉及现金,不允许卖空,对效用函数(2)进行有条件优化,即w非负且和为1。

我们测试使用国内债券,WTI原油指数,AU9999黄金,DAX德国指数,沪深300指数和标普500美国指数6个大类资产构建组合,测试2014年1月到2019年5月以来,根据均值方差效用函数构建出的资产配置方案表现。不考虑交易成本,按照方案比重配置6个大类,每月1日调仓一次。风险偏好系数选择λ=2/4/6净值对比图如图1所示,统计数据如表1所示:

图1:不同风险偏好净值对比图

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表1:不同风险偏好市场表现统计表


夏普比例

年化收益率

年化波动率

最大回撤

λ= 2

1.62

9.14%

10.63%

-16.07%

λ= 4

1.55

8.33%

11.09%

-20.15%

λ= 8

1.46

7.07%

10.28%

-26.77%


不同的风险偏好的指标及净值趋势整体一致。λ越高,配置模型对风险的惩罚力度越低,模型更加追求收益最大化的同时也会导致更大的市场反转风险及回撤。2014年以来,风险偏好低的配置方案夏普比例1.62,最大回撤-16%;风险偏好高的配置方案夏普比例1.46,最大回撤-26%。整体趋势和指标值与预期一致,可以看到长周期下,高风险偏好的方案无论是夏普比例还是波动率都弱于低风险偏好的方案,但是在权益市场上涨行情下会取得极高的绝对收益。

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在投资者真正所面对的市场中,收益率并不符合多元高斯分布,也就是说本文开头中对效用函数的假设并不全面,效用函数具有多样性。另外,大类资产投资也不是一锤子买卖,投资者需要考虑的绝不止是下一期的配置方案而是连续多期的配置方案,有效前沿会不会随着预期投资期间的延长而偏移?预期收益和预期风险的估算误差对优化资产配置又有多大影响?我们会在之后的专题文章中对以上疑问进行分析,并对多种大类资产配置模型进行理论研究,实证分析。

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2019-05-21

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